学习笔记 - 概率论入门 I | Lucky_Glass's Blog

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学习笔记 - 概率论入门 I

发表于 更新于 分类于 Valine：

初次系统学习概率论（以《概率论与数理统计》同济大学出版社）为蓝本
章节1.1 至 章节1.2 ：事件、概率
reader们可以以此博客为参考学习概率论（但是不要仅仅通过我这一篇博客！）

声明：此博客讲解思路参考《概率论与数理统计》，但目录不完全一致！

以下主要是一些定义，需要熟记

在原书的基础上有改动，可能一些语言不合规范，但更易理解

1 - 随机事件

1.1 - 随机现象

  • 在某种条件下确定一定会发生的现象是确定现象；反之为随机现象。
  • 我们往往研究的是随机现象。
  • 根据我的理解：似乎现象就可以看做一个事件的结果。
  • $eg.$ “抛骰子顶面的点数在 $1$ 到 $6$ 之间”是确定现象；“抛硬币正面朝上”是不确定现象。

1.2 - 随机试验

  • 对随机现象的观察称为随机试验（简称试验），记作 $E$ 。

  • 随机事件具有如下性质：

    ① 可重复性：可以在相同条件下多次试验；

    ② 可观察性：可以事先知道有哪些可能观察到的现象；

    ③ 不确定性；

  • $eg.$ 抛 $3$ 次硬币，观察硬币正面朝上的次数。

1.3 - 样本空间

  • 随机试验$E$ 的所有可能的结果（现象）被称为样本点 $\omega$ 。
  • 随机试验$E$ 的所有样本点组成的集合被称为 样本空间 $\Omega$ 。
  • $eg.$ 抛一枚硬币观察哪一面朝上，“正面朝上”是样本点 $\omega_1$，“反面朝上”是样本点 $\omega_2$，样本空间 $\Omega=\{\omega_1,\omega_2\}$ 。
  • 试验目的不同所得到的样本空间也不同！

1.4 - 事件

  • 事件常用大写字母（$A,B,C…$）代替。

  • 一个事件由 随机试验$E$ 中的一个或者多个样本点构成。

    $eg.$ 若随机试验$E$ 中 事件$A$ 由样本点 $\omega_1,\omega_2,…,\omega_k$ 构成，则记作 $A=\{\omega_1,\omega_2,…,\omega_k\}$。

  • 仅包含一个样本点的事件是 基本事件，由多个样本点构成的事件是 复合事件。

  • 当构成事件$A$的样本点中至少有一个发生，事件$A$发生。

  • 若随机试验$E$中事件$A$一定发生，则称事件$A$为必然事件($\Omega$)，若事件$B$不可能发生，则称事件$B$为不可能事件($\varnothing$)。

  • 事件和现象有一些区别，现象是事件的结果（我是这么认为的）：

    $eg.$ 抛硬币，“正面朝上”是一个事件（也可以是一个现象，但是这里当做事件看），这个事件有“是正面朝上”（发生）和“不是正面朝上”（未发生）两种现象。

1.5 - 事件关系与运算

1.5.1 - 包含&相等

如果事件$A$发生则事件$B$一定也发生，则称“$A$包含于$B$中”（$A\subset B$）或“$B$包含$A$”（$B \supset A$）。
其本质是$A$的样本点的集合被包含在$B$的样本点的集合中。
注意：$\varnothing\subset A$

其中如果$A$发生必然导致$B$发生且$B$发生必然导致$A$发生，则称“$A$与$B$相等”（$A=B$）。
其本质是$A$的样本点的集合和$B$的样本点的集合相同。

1.5.2 - 和（并）&积（交）

习惯用并和交，毕竟从集合的角度叫做并集和交集

事件$A$和$B$的并记作$A\cup B$（令$C=A\cup B$），当$A,B$至少有一个发生时$C$发生，此时$C$称为$A,B$的 和事件，可以表示为：

事件$A,B$的交记作$A\cap B$（令$D=A\cap B$），当$A,B$同时发生时$D$发生，此时$D$称为$A,B$的 积事件，可以表示为：

另外$A,B$的交也常记作$AB$，也就是“$A,B$的积”。

记忆的简单方法：上（开口向上$\cup$）并下（开口向下$\cap$）交

1.5.3 - 互斥&互逆

若在同一个随机试验$E$中，事件$A,B$不能同时发生，则称$A,B$互斥；若事件$C,D$不能同时发生且$C,D$中必然有一个会发生，则$C,D$互逆（也说$C$是$D$的 逆事件，或者$D$是$C$的 逆事件）。

互斥关系可以这样表示：$A\cap B=\varnothing$，本质上是构成$A$的基本事件的集合与构成$B$的基本事件的集合的交集为空。

互逆关系可以这样表示：$A\cap B=\varnothing 且A\cup B=\Omega$ ；我们记$A$的逆事件为$\overline A$ 。

显然：

  • 一对互逆事件一定互斥；
  • 一个事件可以与多个不同事件互斥，但有且仅有一个互逆事件；
  • 事件 $\overline A$ 发生则事件 $A$ 不发生；

1.5.4 - 事件的差

事件 $A,B$ 的差记为 $A-B$，表示 “$A$发生$B$不发生”。

根据意义我们可以得到：$A-B=A\overline B=A-AB$

1.5.5 - 事件的运算规律

  1. 交换律：$A\cup /\cap B=B\cup /\cap A$ ；
  2. 结合律（相同运算之间的先后不影响）：$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$，$\cap$同理；
  3. 分配律（不同运算之间不能直接交换顺序）：$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$，将该式中$\cup,\cap$互换后也成立；
  4. 自反律：$\overline{\overline A}=A$，很明显；
  5. 对偶律（也就是德摩根律）：$\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$，换为 $\cap,\cup$ 交换后仍成立；

2 - 概率

2.1 - 频数&频率

相同条件下进行$n$次随机试验$E$，事件$A$发生的次数记作$r_n(A)$，$r_n(A)$则为$A$事件的 频数。那么$A$的频率则为 $f_n(A)=\frac{r_n(A)} n$。

频率满足以下性质（这也是概率满足的性质）：

  1. 非负性：$0\leq f_n(A)\leq1$
  2. 规范性：$f_n(\Omega)=1$
  3. 有限可加性：若$A_1,A_2,…,A_n$ 两两互斥，则满足 $f_n(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^n f_n(A_i)$

随着试验次数 $n$ 的增大，某一事件$A$的频率将会逐渐稳定于一个常数$p$（频率的稳定值）。

2.2 - 概率&公理化定义

称 2.1 中提及的常数$p$为事件$A$发生的概率，记作$P(A)$。

设事件$A$是随机试验$E$中的一个事件，若对于所有$A$，有实数$P(A)$，满足以下性质：

  1. 非负性：$0\leq P(A)\leq 1$

  2. 规范性：$P(\Omega)=1$

  3. 可列可加性：若 $A_1,A_2,A_3…$ 两两互斥，则 $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$

    （注意对比频率的有限可加性）

则称 $P(A)$ 为 $A$ 的概率。

2.3 - 概率的性质

  1. $P(\varnothing)=0$，不可能事件概率为$0$但概率为$0$的事件不一定是不可能事件；

    注：“概率为$0$的事件”指该事件发生的概率无限趋近于$0$，即等于$0$。$eg.$ 在$0$到$1$之间随机抽取一个实数，则抽到$0.5$的概率为 $\frac 1 \infty=0$ 。

  2. 有限可加性，由可列可加性直接可得。

  3. $P(A-B)=P(A\overline B)=P(A)-P(AB)$；

  1. 对于任意两个事件$A,B$，满足$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。

自 $June 1^{st},2019$ 全篇blog完成；

The End

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