学习笔记 - 概率论入门 I

初次系统学习概率论(以《概率论与数理统计》同济大学出版社)为蓝本
章节1.1 至 章节1.2 :事件、概率
reader们可以以此博客为参考学习概率论(但是不要仅仅通过我这一篇博客!)

声明:此博客讲解思路参考《概率论与数理统计》,但目录不完全一致!


以下主要是一些定义,需要熟记

在原书的基础上有改动,可能一些语言不合规范,但更易理解

1 - 随机事件

1.1 - 随机现象

  • 在某种条件下确定一定会发生的现象是确定现象;反之为随机现象
  • 我们往往研究的是随机现象。
  • 根据我的理解:似乎现象就可以看做一个事件的结果
  • $eg.$ “抛骰子顶面的点数在 $1$ 到 $6$ 之间”是确定现象;“抛硬币正面朝上”是不确定现象。

1.2 - 随机试验

  • 对随机现象的观察称为随机试验(简称试验),记作 $E$ 。

  • 随机事件具有如下性质:

    ① 可重复性:可以在相同条件下多次试验;

    ② 可观察性:可以事先知道有哪些可能观察到的现象

    ③ 不确定性;

  • $eg.$ 抛 $3$ 次硬币,观察硬币正面朝上的次数。

1.3 - 样本空间

  • 随机试验$E$ 的所有可能的结果(现象)被称为样本点 $\omega$
  • 随机试验$E$ 的所有样本点组成的集合被称为 样本空间 $\Omega$ 。
  • $eg.$ 抛一枚硬币观察哪一面朝上,“正面朝上”是样本点 $\omega_1$,“反面朝上”是样本点 $\omega_2$,样本空间 $\Omega=\{\omega_1,\omega_2\}$ 。
  • 试验目的不同所得到的样本空间也不同!

1.4 - 事件

  • 事件常用大写字母($A,B,C…$)代替。

  • 一个事件由 随机试验$E$ 中的一个或者多个样本点构成。

    $eg.$ 若随机试验$E$ 中 事件$A$ 由样本点 $\omega_1,\omega_2,…,\omega_k$ 构成,则记作 $A=\{\omega_1,\omega_2,…,\omega_k\}$。

  • 仅包含一个样本点的事件是 基本事件,由多个样本点构成的事件是 复合事件

  • 当构成事件$A$的样本点中至少有一个发生,事件$A$发生

  • 若随机试验$E$中事件$A$一定发生,则称事件$A$为必然事件($\Omega$),若事件$B$不可能发生,则称事件$B$为不可能事件($\varnothing$)。

  • 事件和现象有一些区别,现象是事件的结果(我是这么认为的):

    $eg.$ 抛硬币,“正面朝上”是一个事件(也可以是一个现象,但是这里当做事件看),这个事件有“是正面朝上”(发生)和“不是正面朝上”(未发生)两种现象。

1.5 - 事件关系与运算

1.5.1 - 包含&相等

如果事件$A$发生则事件$B$一定也发生,则称“$A$包含于$B$中”($A\subset B$)或“$B$包含$A$”($B \supset A$)。
其本质是$A$的样本点的集合被包含在$B$的样本点的集合中。
注意:$\varnothing\subset A$

其中如果$A$发生必然导致$B$发生且$B$发生必然导致$A$发生,则称“$A$与$B$相等”($A=B$)。
其本质是$A$的样本点的集合和$B$的样本点的集合相同。

1.5.2 - 和(并)&积(交)

习惯用并和交,毕竟从集合的角度叫做并集和交集

事件$A$和$B$的并记作$A\cup B$(令$C=A\cup B$),当$A,B$至少有一个发生时$C$发生,此时$C$称为$A,B$的 和事件,可以表示为:

事件$A,B$的交记作$A\cap B$(令$D=A\cap B$),当$A,B$同时发生时$D$发生,此时$D$称为$A,B$的 积事件,可以表示为:

另外$A,B$的交也常记作$AB$,也就是“$A,B$的积”。

记忆的简单方法:上(开口向上$\cup$)并下(开口向下$\cap$)交

1.5.3 - 互斥&互逆

若在同一个随机试验$E$中,事件$A,B$不能同时发生,则称$A,B$互斥;若事件$C,D$不能同时发生且$C,D$中必然有一个会发生,则$C,D$互逆(也说$C$是$D$的 逆事件,或者$D$是$C$的 逆事件)。

互斥关系可以这样表示:$A\cap B=\varnothing$,本质上是构成$A$的基本事件的集合与构成$B$的基本事件的集合的交集为空。

互逆关系可以这样表示:$A\cap B=\varnothing 且A\cup B=\Omega$ ;我们记$A$的逆事件为$\overline A$ 。

显然:

  • 一对互逆事件一定互斥;
  • 一个事件可以与多个不同事件互斥,但有且仅有一个互逆事件;
  • 事件 $\overline A$ 发生则事件 $A$ 不发生;

1.5.4 - 事件的差

事件 $A,B$ 的差记为 $A-B$,表示 “$A$发生$B$不发生”。

根据意义我们可以得到:$A-B=A\overline B=A-AB$

1.5.5 - 事件的运算规律

  1. 交换律:$A\cup /\cap B=B\cup /\cap A$ ;
  2. 结合律(相同运算之间的先后不影响):$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$,$\cap$同理;
  3. 分配律(不同运算之间不能直接交换顺序):$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$,将该式中$\cup,\cap$互换后也成立;
  4. 自反律:$\overline{\overline A}=A$,很明显;
  5. 对偶律(也就是德摩根律):$\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$,换为 $\cap,\cup$ 交换后仍成立;

2 - 概率

2.1 - 频数&频率

相同条件下进行$n$次随机试验$E$,事件$A$发生的次数记作$r_n(A)$,$r_n(A)$则为$A$事件的 频数。那么$A$的频率则为 $f_n(A)=\frac{r_n(A)} n$。

频率满足以下性质(这也是概率满足的性质):

  1. 非负性:$0\leq f_n(A)\leq1$
  2. 规范性:$f_n(\Omega)=1$
  3. 有限可加性:若$A_1,A_2,…,A_n$ 两两互斥,则满足 $f_n(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^n f_n(A_i)$

随着试验次数 $n$ 的增大,某一事件$A$的频率将会逐渐稳定于一个常数$p$(频率的稳定值)。

2.2 - 概率&公理化定义

称 2.1 中提及的常数$p$为事件$A$发生的概率,记作$P(A)$。

设事件$A$是随机试验$E$中的一个事件,若对于所有$A$,有实数$P(A)$,满足以下性质:

  1. 非负性:$0\leq P(A)\leq 1$

  2. 规范性:$P(\Omega)=1$

  3. 可列可加性:若 $A_1,A_2,A_3…$ 两两互斥,则 $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$

    (注意对比频率的有限可加性)

则称 $P(A)$ 为 $A$ 的概率。

2.3 - 概率的性质

  1. $P(\varnothing)=0$,不可能事件概率为$0$但概率为$0$的事件不一定是不可能事件

    注:“概率为$0$的事件”指该事件发生的概率无限趋近于$0$,即等于$0$。$eg.$ 在$0$到$1$之间随机抽取一个实数,则抽到$0.5$的概率为 $\frac 1 \infty=0$ 。

  2. 有限可加性,由可列可加性直接可得。

  3. $P(A-B)=P(A\overline B)=P(A)-P(AB)$;

  1. 对于任意两个事件$A,B$,满足$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。


自 $June 1^{st},2019$ 全篇blog完成;

The End

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