#还真就日更博客了呗# （犹豫地）打开了新世界的大门
# 前言
计算几何不常考，然后只要碰到几何题就咕掉 awa……这次省选模拟极其爆炸，用初中学的计算几何来推一个式子，最后错了（心态爆炸）。然后发现标程写的代码及其简洁，看出来了用了向量的相关知识。
对于向量只知道加减、数乘、平面向量基本定理的我再也忍不下去了…… Hello OI-wiki！
# 向量的坐标表示
OI 中一般不会给你一个抽象的向量让你来解题，而是在一个直角坐标系 的背景下用向量来作出判断。
其实很好理解，因为向量具有方向和长度（大小），在平面内是可以随意移动的。因此对于向量 $\overrightarrow{AB}$，我们将它平移，使得 $A$ 点落于坐标原点，就可以用 $B$ 的坐标表示：$\overrightarrow{AB}=(x_B,y_B)$。
那么可以得到一些线性计算基本的性质，设向量 $\mathbf a=(x,y),\mathbf b=(p,q)$：
- $\mathbf a+\mathbf b=(x+p,y+q)$；
- $\mathbf a-\mathbf b=(x-p,y-q)$；
- $\mu\mathbf a=(\mu x,\mu y)$；
# 向量的点积（数量积）
$\langle \mathbf{a,b}\rangle$ 表示 $\mathbf{a,b}$ 的夹角，如图：
对于向量 $\mathbf{a,b}$，定义 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$ 的点积 $\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|\cdot\cos\langle \mathbf{a,b}\rangle$。
有了点积，向量在 OI 中的应用又多了一些了：
- $\mathbf a\cdot\mathbf b=\pm|\mathbf a||\mathbf b|\Leftrightarrow\mathbf{a,b}\text{共线}$，因为 ；（同向/反向，但是似乎 OI 中并不在意向量的方向）
- $\mathbf a\cdot\mathbf b=0\Leftrightarrow\mathbf{a,b}\text{垂直}$；
- 求 $\mathbf{a,b}$ 的夹角：$\cos\langle\mathbf{a,b}\rangle=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}$。
当然，点积也可以用坐标计算—— $\mathbf a=(p,q),\mathbf b=(m,n)$，则 $\mathbf a\cdot\mathbf b=(mp+nq)$。
> 推导
- $\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos(\beta-\alpha)=|\mathbf a||\mathbf b|(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha)$
- $\cos\alpha=\frac{p}{|\mathbf a|},\sin\alpha=\frac q{|\mathbf a|},\cos\beta=\frac m{|\mathbf b|},\sin\beta=\frac n{|\mathbf b|}$
- 代入可得
# 向量的叉积
（这里只讲对 OI 有用的 awa）同一平面内 $\mathbf a$ 与 $\mathbf b$ 的叉积记作 $\mathbf a\times\mathbf b$，满足 $|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b||\sin\langle\mathbf {a,b}\rangle|$（注意绝对值）。画个图稍微观察一下，发现 $|\mathbf a\times\mathbf b|$ 就是以 $\mathbf {a,b}$ 为一组邻边的平行四边形的面积：
当然除以 $2$ 也可以算三角形面积~
同样，向量叉积可以用坐标表示：$\mathbf a=(p,q),\mathbf b=(m,n)$，则 $|\mathbf a\times\mathbf b|=np-mq$。
推导差不多，就是把 $\sin(\beta-\alpha)$ 展开成 $\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha$。
叉积还有另外一个用处——判断点在有向 直线的左侧还是右侧（怎么理解“有向”：你可以把该直线的正方向当作“前方”，然后分左右）。这就要提到叉积的“右手定则”了—— $\mathbf a\times\mathbf b$ 是一个向量，其方向垂直于 $\mathbf {a,b}$ 所在平面，竖直方向上的坐标为 $(|\mathbf a||\mathbf b|\sin\langle\mathbf{a,b}\rangle)$（注意 $\sin$ 没有绝对值），方向可以用右手定则判断：
> 右手定则：
- （右手）四指并拢指向 $\mathbf a$ 的方向；
- 四指弯向 $\mathbf b$；
- 拇指方向为 $\mathbf a\times\mathbf b$ 的方向。
假设要判断 $C$ 在直线 $AB$ 的哪一侧（以 $B$ 为前方），则计算 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ 的竖直方向坐标 $z$：如果 $z<0$，则 $C$ 在 $AB$ 的右侧，否则在左侧。如图展示了 $C$ 在 $AB$ 左边的情况：
The End
Thanks for reading!
心情好多了呢~